12740. Пусть \omega_{1}
и \omega_{2}
— две непересекающиеся окружности. Пусть одна из общих внутренних касательных к \omega_{1}
и \omega_{2}
касается их в точках A_{1}
и A_{2}
соответственно, а одна из общих внешних касательных к \omega_{1}
и \omega_{2}
касается их в точках B_{1}
и B_{2}
соответственно. Оказалось, что A_{1}B_{2}=A_{2}B_{1}
. Докажите, что A_{1}B_{2}\perp A_{2}B_{1}
.
Решение. Пусть X
— точка пересечения касательных. Тогда XA_{1}=XB_{1}
и XA_{2}=XB_{2}
, а так как по условию A_{1}B_{2}=A_{2}B_{1}
, треугольники A_{1}XB_{2}
и B_{1}XA_{2}
равны по трём сторонам. Значит, \angle A_{1}XB_{2}=\angle A_{2}XB_{1}
. Эти углы смежные, поэтому оба они равны 90^{\circ}
.
Таким образом, треугольник A_{1}XB_{2}
переходит в треугольник B_{1}XA_{2}
при повороте на 90^{\circ}
вокруг точки X
, поэтому соответствующие стороны A_{1}B_{2}
и A_{2}B_{1}
этих треугольников перпендикулярны.
Примечание. Верно и обратное: если A_{1}B_{2}\perp A_{2}B_{1}
, то A_{1}B_{2}=A_{2}B_{1}
(см. задачу 12741).
Автор: Кожевников П. А.
Источник: Кавказская математическая олимпиада. — 2020, V, задача 2, юниоры