12742. Дан правильный треугольник ABC
. Точки K
и N
отмечены на стороне AB
, точка L
отмечена на стороне AC
, а точка M
— на стороне BC
. При этом CL=AK
, CM=BN
, ML=KN
. Докажите, что KL\parallel MN
.
Решение. Заметим сначала, что точки A
, K
, N
, B
следуют именно в таком порядке. В противном случае мы имели бы
LM=KN\lt AK=CL,
и аналогично, LM\lt CM
. Но в треугольнике CLM
сторона LM
не может быть наименьшей, так как она лежит напротив угла 60^{\circ}
, который не является наименьшим.
Первый способ. Пусть I
— центр треугольника ABC
. Поскольку
IC=IA,~\angle ICL=\angle IAK=30^{\circ},~CL=AK,
то треугольники ICL
и IAK
равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда IL=IK
. Аналогично, IM=IN
. Тогда треугольники ILM
и IKN
равны по трём сторонам, значит они симметричны относительно l
, содержащей биссектрисы углов KIL
и NIM
. Тогда каждая из прямых KL
и MN
перпендикулярна l
. Следовательно, KL\parallel MN
.
Второй способ. Пусть вписанная окружность \omega
касается сторон AB
, BC
, CA
в точках C_{0}
, A_{0}
, B_{0}
соответственно. Тогда C_{0}
, A_{0}
, B_{0}
— середины этих сторон. Периметр треугольника CLM
равен AB=AC=BC
, а полупериметр равен CA_{0}=CB_{0}
. Тогда окружность \omega
совпадает с вневписанной окружностью треугольника CLM
, а поэтому обе прямые KN
и LM
— касательные к \omega
. Они симметричны относительно некоторой прямой t
, проходящей через точку I
(если прямые LM
и KN
пересекаются в точке D
, то t
— содержит биссектрису угла LDK
).
Пусть S
— точка касания прямой LM
с окружностью \omega
. Тогда точки S
и C_{0}
симметричны относительно прямой t
. Значит,
LS=B_{0}L=B_{0}C-LC=C_{0}A-KA=KC_{0}.
Полученное равенство означает, что отрезки LS
и KC_{0}
симметричны относительно прямой t
. Тогда KL\perp t
. Аналогично, MN\perp t
. Следовательно, KL\parallel MN
.