12743. Дан треугольник ABC
, в котором AB\ne AC
. Пусть M
— середина отрезка AB
, K
— середина дуги BAC
описанной окружности треугольника ABC
, а P
— точка, в которой серединный перпендикуляр к AC
пересекает биссектрису угла BAC
. Докажите, что точки A
, M
, K
, P
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть KL
и AD
— диаметры описанной окружности треугольника ABC
. Тогда AKDL
— прямоугольник, а его центр O
— центр окружности. Обозначим через l
ту из осей симметрии прямоугольника AKDL
, которая параллельна AL
. Заметим, что AL
— биссектриса угла BAC
, а P
— точка пересечения прямых AL
и ON
, где N
— середина AC
.
Пусть F
— точка пересечения прямых AL
и OM
. Острые углы при общей вершине A
прямоугольных треугольников APN
и AFM
равны, поэтому равны острые углы при вершинах P
и F
. Значит, серединные перпендикуляры OM
и ON
к сторонам AB
и AC
составляют равные углы с AL
, и поэтому OM
и ON
симметричны относительно прямой l
, параллельной AL
. Значит, точка P
и точка Q
пересечения KD
и OM
симметричны относительно l
. Тогда AKQP
— прямоугольник, и точки A
, K
, Q
, P
лежат на окружности \omega
с диаметром AQ
. Точка Q
лежит на прямой OM
, перпендикулярной AB
, поэтому \angle AMQ=90^{\circ}
. Тогда точка M
также лежит на \omega
. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. Верно также утверждение, аналогичное данной задаче: точки A
, M
, L
точка пересечения ON
и AK
лежат на одной окружности.