12744. Точки A'
и B'
лежат внутри параллелограмма ABCD
, а точки C'
и D'
— снаружи него. Известно, что все стороны восьмиугольника AA'BB'CC'DD'
равны. Докажите, что точки A'
, B'
, C'
, D'
лежат на одной окружности.
Решение. Обозначим через a
длину стороны нашего восьмиугольника. Заметим, что треугольник AD'D
равен треугольнику BB'C
по трём сторонам. Тогда противоположные стороны четырёхугольника ABB'D'
попарно равны, значит, это параллелограмм. Аналогично, BA'C'C
— параллелограмм.
Достроим равнобедренный треугольник A'BB'
до ромба A'BB'O
. Тогда OA'=OB'=a
.
Поскольку BB'=A'O=AD'
и BB'\parallel A'O\parallel AD'
, четырёхугольник AA'OD'
— параллелограмм, поэтому OD'=A'A=a
. Аналогично, OC'=a
.
Таким образом, точка O
удалена на расстояние a
от каждой из точек A'
, B'
, C'
, D'
. Следовательно, эти точки лежат на окружности радиуса a
с центром O
. Что и требовалось доказать.