12748. Дан треугольник ABC
, в котором BC=a
, CA=b
, AB=c
, \angle BAC=\alpha
, \angle CBA=\beta
, \angle ACB=\gamma
. Докажите, что a\sin(\beta-\gamma)+b\sin(\gamma-\alpha)+c\sin(\alpha-\beta)=0
.
Решение. Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Тогда по теореме синусов
\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R.
Значит,
2Ra\sin(\beta-\gamma)=2Ra\sin\beta\cos\gamma-2Ra\sin\gamma\cos\beta=ba\cos\gamma-ca\cos\beta,
Аналогично,
2Rb\sin(\gamma-\alpha)=cb\cos\alpha-ab\cos\gamma,~2Rc\sin(\alpha-\beta)=ac\cos\beta-bc\cos\alpha.
Сложив эти три равенства, получим
2Ra(\sin(\beta-\gamma)+b\sin(\gamma-\alpha)+c\sin(\alpha-\beta))=0.
Следовательно,
\sin(\beta-\gamma)+b\sin(\gamma-\alpha)+c\sin(\alpha-\beta)=0.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Кавказская математическая олимпиада. — 2019, IV, задача 5, сеньоры