12768. Медианы треугольника равны m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
. Найдите площадь треугольника.
Ответ. S=\frac{4}{3}\sqrt{m(m-m_{a})(m-m_{b})(m-m_{c})}
, где m=\frac{1}{2}(m_{a}+m_{b}+m_{c})
.
Решение. Пусть медианы AD
, BE
и CF
треугольника ABC
пересекаются в точке G
и равны m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
соответственно.
На продолжении медианы AD
за точку D
отложим отрезок
DX=GD=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}m_{a}.
Тогда BXCG
— параллелограмм, поэтому треугольник BCG
равновелик треугольнику BXG
со сторонами
GX=\frac{2}{3}m_{a},~GB=\frac{2}{3}m_{b},~BX=GC=\frac{2}{3}m_{c}.
Обозначим m=\frac{1}{2}(m_{a}+m_{b}+m_{c})
. Тогда полупериметр треугольника BXG
равен \frac{2}{3}m
, и по формуле Герона
S_{\triangle BXG}=\sqrt{\frac{2}{3}m\left(\frac{2}{3}m-\frac{2}{3}m_{a}\right)\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{3}m_{b}\right)\left(\frac{2}{3}m-\frac{2}{3}m_{c}\right)}=
=\frac{4}{9}\sqrt{m(m-m_{a})(m-m_{b})(m-m_{c})}.
Треугольники ABG
, BCG
и CAG
равновелики. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=3S_{\triangle BCG}=\frac{4}{3}\sqrt{m(m-m_{a})(m-m_{b})(m-m_{c})}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1975, № 9, задача 56, с. 90