12769. Внутри параллелограмма ABCD
взята такая точка P
, что \angle PDA=\angle PBA
. Пусть \omega_{1}
— вневписанная окружность треугольника PAB
, лежащая напротив вершины A
. Пусть \omega_{2}
— вписанная окружность треугольника PCD
. Докажите, что одна из общих касательных к окружностям \omega_{1}
и \omega_{2}
параллельна прямой AD
Решение. Перенеся треугольник PAB
на вектор \overrightarrow{AD}
, получим треугольник QDC
. Окружность \omega_{1}
также сдвинется параллельно AD
и перейдёт во вневписанную окружность треугольника QDC
с центром J
, поэтому достаточно доказать, что одна из общих касательных к \omega_{3}
и \omega_{2}
параллельна AD
.
По условию
\angle QPD=\angle PDA=\angle PBA=\angle QCD,
значит, точки C
, P
, D
и Q
лежат на одной окружности, поэтому
\angle CPD+\angle CQD=180^{\circ}.
Известно что
\angle CID=\frac{1}{2}\angle CPD+90^{\circ}
(см. задачу 4770). Пусть I
— центр окружности \omega_{2}
, а I'
— точка пересечения биссектрис треугольника CQD
. Поскольку \angle I'QJ=\angle I'CJ=90^{\circ}
, точки C
и Q
лежат на окружности с диаметром I'J
, поэтому
\angle CJD=\angle CQI'=\frac{1}{2}\angle CQD.
Тогда
\angle CID+\angle CJD=\left(\frac{1}{2}\angle CPD+90^{\circ}\right)+\frac{1}{2}\angle CQD=
=90^{\circ}+\frac{1}{2}(\angle CPD+\angle CQD)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\cdot180^{\circ}=180^{\circ}.
Значит, точки C
, I
, D
и J
тоже лежат на одной окружности.
Пусть X
и Y
— точки пересечения CD
с PQ
и IJ
соответственно. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle IYD=\angle DCI+\angle CIJ=\angle DCI+\angle CDJ=\frac{1}{2}\angle PCD+\frac{1}{2}\angle CDQ=\frac{1}{2}(\angle PCD+\angle CDQ).
Отсюда, в частности, угол IYD
острый, так как
\angle PCD+\angle CDQ\lt\angle PCQ+\angle PDQ=180^{\circ}.
Тогда точка D'
, симметричная точке D
относительно IJ
, лежит по ту же сторону от CD
, что и точка P
, и при этом
\angle CYD'=180^{\circ}-\angle D'YD=180^{\circ}-2\angle IYD=
=180^{\circ}-(\angle PCD+\angle CDQ)=180^{\circ}-(\angle PQD+\angle CDQ)=\angle PXC
(последние два равенства верны, так как четырёхугольники DICJ
и PCQD
вписанные).
Итак, соответственные углы PXC
и CYD'
при пересечении прямой CD
секущими PQ
и D'Y
равны, значит, D'Y\parallel PQ\parallel AD
, и прямая D'Y
симметрична общей касательной CD
относительно линии центров IJ
. Значит, D'Y
тоже общая касательная, и она параллельна AD
. Что и требовалось доказать.