12771. Дан треугольник ABC
, в котором \angle A-\angle B=90^{\circ}
. Точка D
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины C
на прямую AB
, а M
— середина стороны AB
. Докажите, что отрезок MD
равен радиусу описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Обозначим AC=b
, \angle ABC=\beta
, R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. По теореме синусов R=\frac{b}{2\sin\beta}
.
Пусть перпендикуляр, восставленный из точки M
к стороне AB
, пересекает сторону BC
в точке F
. Тогда MF
— серединный перпендикуляр к отрезку AB
, поэтому AF=BF
, т. е. треугольник AFB
равнобедренный. По теореме о внешнем угле треугольника \angle AFC=2\beta
.
Поскольку
\angle FAC=\angle BAC-\angle ABC=90^{\circ},
треугольник CAF
прямоугольный. Тогда
CF=\frac{AC}{\sin\angle AFC}=\frac{b}{\sin2\beta},
а так как DM
— проекция отрезка CF
на прямую AB
, то
DM=CF\cos\beta=\frac{b}{\sin2\beta}\cdot\cos\beta=\frac{b}{2\sin\beta}=R
Что и требовалось доказать.