12772. Сумма длин диагоналей трапеции площади 2 равна 4. Докажите, что диагонали перпендикулярны.
Решение. Пусть угол между диагоналями d_{1}
и d_{2}
трапеции площади 2 равен \varphi
. Тогда \frac{1}{2}d_{1}d_{2}\sin\varphi=2
, откуда
d_{1}d_{2}=\frac{4}{\sin\varphi}\geqslant4.
С другой стороны,
d_{1}d_{2}\leqslant\left(\frac{d_{1}+d_{2}}{2}\right)^{2}=\left(\frac{4}{2}\right)^{2}=4.
Значит, d_{1}d_{2}=4
. Следовательно, \sin\varphi=1
, т. е. \varphi=90^{\circ}
.
Примечание. Утверждение верно для любого четырёхугольника
Источник: Турнир городов. — 1995, задача 8
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1999, № 6, задача 3, с. 337