1278. Внутри треугольника ABC
взята произвольная точка O
и построены точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, симметричные точке O
относительно середин сторон BC
, CA
и AB
. Докажите, что треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
равны, а прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в одной точке.
Указание. Примените свойство средней линии треугольника.
Решение. Пусть M
, N
и K
— середины сторон соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
. Тогда MK
— средняя линия треугольников ABC
и OA_{1}C_{1}
. Следовательно,
A_{1}C_{1}=2MK=AC,~A_{1}C_{1}\parallel MK\parallel AC.
Аналогично докажем, что
B_{1}C_{1}=BC,~B_{1}C_{1}\parallel BC,~A_{1}B_{1}=AB,~A_{1}B_{1}\parallel AB.
Следовательно, треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
равны по трём сторонам.
Поскольку AC=A_{1}C_{1}
и AC\parallel A_{1}C_{1}
, то четырёхугольник AC_{1}A_{1}C
— параллелограмм. Поэтому его диагонали AA_{1}
и CC_{1}
делятся точкой P
их пересечения пополам.
Диагональ BB_{1}
параллелограмма CB_{1}C_{1}B
проходит через середину P
его второй диагонали CC_{1}
. Следовательно, отрезки AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
проходят через точку P
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 5.43, с. 109
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.49, с. 106
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2012, № 7, задача 3661 (2011, 320), с. 288