12783. Через точку A
внутри окружности с центром O
провели хорду PQ
, отличную от диаметра. Прямые p
и q
касаются окружности в точках P
и Q
соответственно, а прямая l
, проходящая через точку A
перпендикулярно OA
, пересекает прямые p
и q
в точках K
и L
. Докажите, что AK=AL
.
Решение. Пусть точка K
лежит на прямой p
. Из точек A
и P
отрезок OK
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OK
. Вписанные в эту окружность углы KOP
и KAP
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle KOP=\angle KAP
. Аналогично, \angle LOQ=\angle LAQ
. Тогда
\angle KOP=\angle KAP=\angle LAQ=\angle LOQ.
Следовательно, прямоугольные треугольники KOP
и LOQ
равны по катету и прилежащему острому углу. Тогда OK=OL
, т. е. треугольник KOL
равнобедренный. Его высота OA
является медианой, поэтому AK=AL
. Что и требовалось доказать.