12789. Каждая сторона четырёхугольника меньше, чем 7. Обязательно ли его площадь меньше, чем 50?
Ответ. Обязательно.
Решение. В любом четырёхугольнике есть диагональ, которая делит его на два треугольника. Пусть это диагональ AC
в четырёхугольнике ABCD
(рис. 1). Тогда
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB\cdot BC\sin\angle B+CD\cdot DA\sin\angle D)\lt\frac{49}{2}(\sin\angle B+\sin\angle D)\leqslant49\lt50.
Примечание. Вместо невыпуклого четырёхугольника можно также рассмотреть выпуклый, указав предварительно, что если длины сторон этих четырёхугольников соответственно равны, то площадь выпуклого четырёхугольника больше площади невыпуклого (первый получается из второго симметрией относительно диагонали, лежащей вне четырёхугольника).
Источник: Московская математическая регата. — 2019-2020, первый тур, № 2, 11 класс