12790. На катетах CA
и CB
равнобедренного прямоугольного треугольника ABC
отмечены точки D
и E
соответственно, причём CD=CE
. Прямые, проходящие через точки C
и D
перпендикулярно AE
, пересекают гипотенузу AB
в точках K
и L
соответственно. Докажите, что KL=LB
.
Решение. На продолжении катета AC
за точку C
отложим отрезок CG=CD=CE
. Прямоугольные треугольники ACE
и BCG
равны по двум катетам, поэтому \angle CAE=\angle CBG
.
Пусть прямые CL
и AE
пересекаются в точке M
. Тогда
\angle MCE=\angle CAE=\angle CBG,
поэтому GB\parallel CL\parallel DK
. При этом C
— середина отрезка DG
. Следовательно, по теореме Фалеса L
— середина отрезка KB
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1975, № 7, задача 33, с. 60