12800. Точки A'
, B'
и C'
симметричны центру I
вписанной окружности треугольника ABC
относительно его сторон. Окружность, описанная около треугольника A'B'C'
, проходит через вершину A
. Найдите угол BAC
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Из условия задачи следует, что расстояние от точки I
до сторон треугольника равно радиусу r
вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда
A'I=B'I=C'I=2r,
значит, точка I
— центр описанной окружности треугольника A'B'C'
. Поскольку эта окружность проходит через точку A
, то IA=2r
.
Пусть AC
и IB'
пересекаются в точке F
. Тогда в прямоугольном треугольнике AIF
катет IF
в два раза меньше гипотенузы IA
. Значит, \angle IAF=30^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAC=2\angle IAF=60^{\circ}.
Источник: Новозеландские математические олимпиады. — 2004
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 2, задача 1 (2007, с. 151-152), с. 90
Источник: Московская математическая регата. — 2019-2020, пятый тур, № 2, 9 класс