12802. Точка O
— центр квадрата ABCD
. Точка P
внутри квадрата такова, что треугольник APD
равносторонний. Точки M
и N
— середины отрезков BP
и CP
. Докажите, что треугольник MON
также равносторонний.
Решение. Из условия задачи следует, что MN\parallel BC\parallel AD
. Проведём диагонали квадрата, тогда OM
— средняя линия треугольника BPD
, поэтому OM\parallel PD
. Аналогично, ON\parallel PA
. Стороны треугольника MON
соответственно параллельны сторонам равностороннего треугольника APD
, Следовательно, треугольник MON
также равносторонний.
Примечание. Можно также использовать, что стороны треугольника MON
вдвое меньше соответствующих сторон треугольника APD
.