12806. Каждая сторона треугольника меньше, чем 1. Может ли радиус окружности, описанной около него, быть больше, чем 2019?
Ответ. Может.
Решение. Первый способ. Рассмотрим, например, окружность \omega
радиуса 2020 и отметим на ней произвольную точку A
. Проведём окружность с центром в точке A
радиуса \frac{1}{2}
. Пусть она пересечёт \omega
в точках B
и C
. Тогда
AB=AC=\frac{1}{2}.
Треугольник ABC
— искомый, так как он вписан в окружность \omega
и
BC\lt AB+AC=1.
Второй способ. Рассмотрим, например, равнобедренный треугольник с боковой стороной a=\frac{1}{2}
и углом \alpha
при основании, синус которого равен \frac{1}{10000}
. Тогда по неравенству треугольника его третья сторона меньше 1, а по теореме синусов радиус описанной окружности равен
\frac{a}{2\sin\alpha}=\frac{\frac{1}{2}}{2\cdot\frac{1}{10000}}=2500\gt2019.