12808. В трапеции ABCD
(AD\parallel BC
) диагонали пересекаются в точке O
, DB
— биссектриса угла ADC
, угол ABD
— прямой, BO=6
. Найдите OD
.
Ответ. 12.
Решение. Из условия задачи следует, что
\angle CDA=\angle BDA=\angle CBD.
Обозначим эти углы через \alpha
. Тогда BC=CD
.
Пусть M
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины C
на диагональ BD
. Тогда M
— середина BD
.
Первый способ. Из треугольников BCD
и ABD
получаем
BD=2BC\cos\alpha,~BD=AD\cos\alpha.
Значит, AD=2BC
. Тогда из подобия треугольников BOC
и DOA
находим, что
OD=2OB=12.
Второй способ. Продлим CM
до пересечения с AD
в точке K
. Отрезок DM
— высота и биссектриса треугольника CDK
, поэтому этот треугольник равнобедренный, и M
— середина CK
. Кроме того, CK\parallel AB
, значит, ABCK
— параллелограмм, поэтому CK=AB
. Тогда из подобия треугольников COM
и AOB
получим, что
OM=\frac{1}{2}OB=3.
Следовательно,
OD=OM+MD=12.
Третий способ. Пусть продолжения боковых сторон данной трапеции пересекаются в точке X
. Тогда треугольник XBD
прямоугольный, а из равенства BC=CD
, доказанного выше, следует, что BC
— его медиана. Значит, C
— середина XD
.
Отрезок DB
— биссектриса и высота треугольника AXD
, поэтому этот треугольник равнобедренный. Тогда DB
— его медиана. Таким образом, O
— точка пересечения медиан треугольника AXD
. Следовательно,
OD=2OB=12.
Источник: Московская математическая регата. — 2018-2019, пятый тур, № 2, 10 класс