12811. Три стороны и диагонали одного четырёхугольника соответственно равны трём сторонам и диагоналям другого. Обязательно ли эти четырёхугольники равны?
Ответ. Не обязательно.
Решение. Рассмотрим равносторонние треугольники ABC
и ABD
с общей стороной AB
. На стороне BD
получившегося ромба вне его построим равнобедренный прямоугольный треугольник DBE
с гипотенузой DE
. Проведём также отрезки AE
, CE
и DE
.
Для четырёхугольников DABE
и ACBE
выполняется условие задачи: стороны DA
, AB
и BE
первого соответственно равны сторонам AC
, CB
и BE
второго. Кроме того, DB=AB
и AE=CE
(в силу равенства треугольников ABE
и CBE
по двум сторонам и углу между ними).
Но эти четырёхугольники не равны, так как DE\ne AE
(например, потому, что \angle ADE=105^{\circ}\gt\angle DAE
).
Источник: Московская математическая регата. — 2018-2019, четвёртый тур, № 2, 9 класс