12812. Точка E
— середина стороны CD
квадрата ABCD
. Точка F
лежит на стороне BC
, причём EF\perp AE
. Докажите, что AE
— биссектриса угла DAF
.
Решение. Пусть прямые BC
и AE
пересекаются в точке G
. Прямоугольные треугольники ADE
и GCE
равны по катету и прилежащему острому углу поэтому AE=EG
. Высота FE
треугольника AFG
является его медианой, поэтому треугольник AFG
равнобедренный. Следовательно,
\angle EAD=\angle EGF=\angle EAF.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2023, № 2, задача MA183, с. 66