12821. Пусть \Gamma
— описанная окружность треугольника ABC
; T
— точка пересечения касательных к \Gamma
в точках B
и C
; S
— отличная от A
точка пересечения прямой AT
с окружностью \Gamma
; A'
— точка, симметричная точке A
относительно прямой BC
. Докажите, что прямая A'S
проходит через середину стороны BC
.
Решение. Достаточно доказать, что образ прямой A'S
при симметрии относительно прямой BC
есть прямая, содержащая медиану AM
треугольника ABC
, или образ точки S
при симметрии относительно прямой BC
лежит на прямой AM
.
Поскольку AS
— симедиана треугольника ABC
(см. задачу 10499), треугольники ABS
и AMC
подобны по двум углам, так как
\angle BAS=\angle CAM~\mbox{и}~\angle ASB=\angle ACB=\angle ACM.
Кроме того AS
— симедиана треугольника BSC
(см. задачу 10499), поэтому треугольники ABS
и SMC
также подобны по двум углам.
Таким образом
\angle SMC=\angle ABS=\angle AMC.
Следовательно, образ прямой AS
при симметрии относительно прямой BC
есть прямая AM
. Что и требовалось доказать.