12823. Дан треугольник ABC
, в котором \angle A=20^{\circ}
и \angle B=80^{\circ}
. На продолжениях сторон BC
и AC
за точку C
отрезки CD
и CE
соответственно, причём \angle ADC=50^{\circ}
и \angle DEC=70^{\circ}
. Докажите, что биссектриса угла DCE
параллельна прямой BE
.
Решение. Из условия следует, что
\angle DCE=\angle ACB=80^{\circ},~\angle DAC=80^{\circ}-50^{\circ}=30^{\circ},
\angle CDE=180^{\circ}-80^{\circ}-70^{\circ}=30^{\circ}.
Пусть CF
— биссектриса треугольника DCE
. Тогда
\angle DCF=\frac{1}{2}\angle DCE=40^{\circ},
поэтому параллельность BE
и CF
равносильна равенству \angle CBE=40^{\circ}
, а так как
\angle BEC=\angle BCA-\angle CBE,
то равенство \angle CBE=40^{\circ}
равносильно тому, что треугольник BCE
равнобедренный. Таким образом для решения нашей задачи достаточно доказать, что BC=CE
.
По теореме синусов из треугольников ABC
, CED
и CAD
получаем
BC=\frac{AC\cdot\sin20^{\circ}}{\sin80^{\circ}}=\frac{AC\cdot\sin20^{\circ}}{2\sin40^{\circ}\cos40^{\circ}}=\frac{AC}{4\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}},
CE=\frac{CD\sin30^{\circ}}{\sin70^{\circ}}=\frac{CD}{2\cos20^{\circ}},~CD=\frac{AC\sin30^{\circ}}{\sin50^{\circ}}=\frac{AC}{2\cos40^{\circ}}.
Следовательно,
CE=\frac{CD}{2\cos20^{\circ}}=\frac{\frac{AC}{2\cos40^{\circ}}}{2\cos20^{\circ}}=\frac{AC}{4\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}}=BC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2022, № 9, задача 4738, с. 576;