12825. На катете AC
прямоугольного треугольника ABC
отмечена такая точка M
, что AM=BC
, а на катете BC
— такая точка N
, что BN=MC
. Найдите угол между прямыми AN
и BM
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть прямые AN
и BM
пересекаются в точке O
. Тогда угол AOM
— искомый.
Первый способ. Вне треугольника ABC
построим квадрат CEDM
. Тогда
EN=CE+CN=CN+CM=CN+NB=CB.
Значит, прямоугольные треугольники EDN
, CMB
и MDA
равны по двум катетам, так как
DE=MC=DM~\mbox{и}~EN=CB=MA.
Следовательно,
ND=AD~\mbox{и}~\angle EDN=\angle MDA.
Тогда
\angle ADN=\angle MDE=90^{\circ}.
Таким образом, треугольник AND
равнобедренный и прямоугольный. Значит, \angle AND=45^{\circ}
. Кроме того, из равенства треугольников получаем, что \angle DNE=\angle MBC
, поэтому BM\parallel ND
. Следовательно,
\angle AOM=\angle AND=45^{\circ}.
Второй способ. Восставим в точке B
перпендикуляр к BC
, а через точку A
проведём прямую, параллельную BM
. Пусть они пересекаются в точке K
. Тогда AMBK
— параллелограмм. Значит,
KB=AM=BC,
поэтому прямоугольные треугольники BMC
и KNB
равны (по двум катетам). Следовательно,
AK=BM=KN.
Кроме того, \angle CBM=\angle BKN
. Обозначим эти углы через \alpha
. Тогда, если L
— точка пересечения BM
и KN
, то
\angle KBL=90^{\circ}-\alpha~\Rightarrow~\angle KLB=90^{\circ}.
Поскольку AK\parallel BM
, то
\angle AKN=\angle KLB=90^{\circ}.
Таким образом, треугольник AKN
— прямоугольный и равнобедренный. Значит, \angle KAN=45^{\circ}
. Тогда, используя ту же параллельность, получим, что
\angle AOM=\angle KAN=45^{\circ}.