12829. В выпуклом четырёхугольнике тангенс одного из углов равен m
. Могут ли тангенсы каждого из трёх остальных углов также равняться m
?
Ответ. Не могут.
Решение. Из условия задачи следует, что в четырёхугольнике нет прямых углов. Сумма его углов равна 360^{\circ}
, поэтому все его углы не могут быть одновременно ни тупыми, ни острыми. Следовательно, в четырёхугольнике есть хотя бы один тупой угол и хотя бы один острый угол. Но тангенсы тупого и острого углов имеют разные знаки, поэтому они между собой не равны.
Источник: Московская математическая регата. — 2016-2017, первый тур, № 2, 10 класс