12830. Две окружности пересекаются в точках A
и B
. Через точку B
проведена прямая, пересекающая окружности в точках M
и N
, причём AB
биссектриса треугольника MAN
. Докажите, что отношение отрезков BM
и BN
равно отношению радиусов окружностей.
Решение. Пусть O
и I
— центры данных окружностей, а R
и r
соответственно —их радиусы.
Первый способ. Поскольку
\angle MOB=2\angle MAB=2\angle NAB=\angle NIB,
равнобедренные треугольники MOB
и NIB
подобны. Тогда
\frac{BM}{BN}=\frac{OM}{IN}=\frac{R}{r}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Обозначим \angle MAB=\angle NAB=x
. По теореме синусов для треугольников MAB
и NAB
получим
BM=2R\sin x,~BN=2r\sin x.
Тогда \frac{BM}{BN}=\frac{R}{r}
. Что и требовалось доказать.