12834. В выпуклом пятиугольнике равны все стороны, а также равны четыре из пяти диагоналей. Следует ли из этого условия, что пятиугольник правильный?
Ответ. Да, следует.
Решение. Пусть пятиугольник ABCDE
удовлетворяет условию задачи (равны между собой все стороны и равны все диагонали, кроме AC
). Тогда треугольники AED
и BCD
равны по трём сторонам. Значит, \angle AED=\angle BCD
. Кроме того, треугольник CDE
равнобедренный, поэтому \angle CED=\angle ECD
. Тогда
\angle AEC=\angle AED-\angle CED=\angle BCD-\angle ECD=\angle BCE.
Следовательно, треугольники ACE
и BEC
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AC=BE
. Таким образом, в пятиугольнике равны все диагонали и равны все стороны, поэтому равны и все углы. Следовательно, пятиугольник правильный.
Примечание. Отметим, что условие равенства всех сторон — избыточное. Достаточно равенства четырёх (в данном случае, можно было исключить AB
). Тот факт, что AB
равно остальным сторонам, можно получить из равенства треугольников BAE
и ABC
.
Источник: Московская математическая регата. — 2015-2016, первый тур, № 2, 10 класс