12835. Существует ли выпуклый четырёхугольник, каждая диагональ которого делит его на два остроугольных треугольника?
Ответ. Нет, не существует.
Решение. Предположим, что такой четырёхугольник существует. Из условия задачи следует, что каждый его угол — это угол остроугольного треугольника. Следовательно, все углы этого четырёхугольника острые, а их сумма меньше, чем 360^{\circ}
, что противоречит теореме о сумме углов четырёхугольника. Значит, такого треугольника не существует.
Источник: Московская математическая регата. — 2015-2016, первый тур, № 2, 9 класс