1284. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12.
Ответ. 4 и 8.
Указание. Докажите, что диагональ квадрата равна полупериметру прямоугольника.
Решение. Пусть вершины M
, N
, K
, L
прямоугольника MNKL
расположены соответственно на сторонах AB
, BC
, CD
, AD
квадрата ABCD
; MN=2KL
; сторона MN
параллельна диагонали AC
квадрата; P
и Q
— точки пересечения AC
с противоположными сторонами ML
и NK
прямоугольника MNKL
. Обозначим ML=NK=2x
, MN=KL=4x
. Тогда MP=NQ=x
.
Поскольку APM
и CQN
— равнобедренные прямоугольные треугольники, то AP=MP=x
и CQ=NQ=x
. Поэтому
PM+MN+NQ=AP+PQ+QC=12,~\mbox{или}~x+4x+x=12.
Отсюда находим, что x=2
. Следовательно,
MN=4x=8,~KN=2x=4.