12848. Найдите отношение произведения биссектрис прямоугольного треугольника, проведённых из вершин острых углов, к произведению радиусов его описанной и выписанной окружностей.
Ответ. 4\sqrt{2}
.
Решение. Пусть l_{a}
и l_{b}
— биссектрисы прямоугольного треугольника ABC
, проведённые из вершин соответственно A
и B
его острых углов, равных соответственно \alpha
и \beta
, R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
, а BC=a
, AC=b
, AB=c=2R
. Тогда (см. задачу 3225)
r=4R\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin45^{\circ}=2R\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}=c\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2},
а так как
l_{a}=\frac{b}{\cos\frac{\alpha}{2}},~l_{b}=\frac{a}{\cos\frac{\beta}{2}},
то
\frac{l_{a}l_{b}}{rR}=\frac{2ab}{rc\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}=\frac{2ab}{c^{2}\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}=
=\frac{8ab}{c^{2}\sqrt{2}\sin\alpha\sin\beta}=\frac{4ab\sqrt{2}}{c\sin\alpha\cdot c\sin\beta}=\frac{4ab\sqrt{2}}{a\cdot b}=4\sqrt{2}.