12849. Окружность радиуса r
с центром I
вписана в треугольник ABC
. Окружность радиуса R
описана около этого треугольника. Докажите, что IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}
Указание. См. задачу 3225.
Решение. Обозначим \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
, \angle C=\gamma
. Пусть вписанная окружность касается стороны AB
в точке P
. Из прямоугольного треугольника API
находим, что
IA=\frac{IP}{\sin\angle PAI}=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}.
Аналогично,
IB=\frac{r}{\sin\frac{\beta}{2}},~IC=\frac{r}{\sin\frac{\gamma}{2}}.
Учитывая, что
\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{r}{4R}
(см. задачу 3225), получим
IA\cdot IB\cdot IC=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{r}{\sin\frac{\beta}{2}}\cdot\frac{r}{\sin\frac{\gamma}{2}}=\frac{r^{3}}{\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}=\frac{r^{3}}{\frac{r}{4R}}=4Rr^{2}.
Что и требовалось доказать.