1285. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
взаимно перпендикулярны. Через середины сторон AB
и AD
проведены прямые, перпендикулярные противоположным сторонам CD
и CB
соответственно. Докажите, что эти прямые и прямая AC
имеют общую точку.
Указание. Рассмотрите треугольник с вершинами в серединах отрезков AB
, AD
и AC
.
Решение. Пусть M
, N
и K
— середины отрезков AB
, AD
и AC
соответственно, а P
и Q
— основания перпендикуляров, опущенных из точек M
и N
соответственно на стороны CD
и BC
четырёхугольника ABCD
. По теореме о средней линии треугольника MN\parallel BD
, MK\parallel BC
и NK\parallel CD
. Поэтому высоты треугольника MNK
лежат на прямых AC
, NQ
и MP
. Следовательно, эти прямые пересекаются в одной точке.
