12855. Точки I_{a}
, I_{b}
и I_{c}
— центры вневписанных окружностей треугольника ABC
, касающихся сторон BC
, AC
и AB
соответственно, I
— центр вписанной окружности. Докажите, что II_{a}:II_{b}:II_{c}=\sin\frac{1}{2}\angle A:\sin\frac{1}{2}\angle B:\sin\frac{1}{2}\angle C
.
Указание. Примените теорему синусов к треугольнику I_{b}II_{c}
.
Решение. Обозначим \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
, \angle C=\gamma
. Лучи AI
и AI_{b}
— биссектрисы смежных углов, поэтому \angle IAI_{b}=90^{\circ}
. Аналогично, \angle ICI_{b}=90^{\circ}
. Из точек A
и C
отрезок II_{b}
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром II_{b}
. Следовательно,
\angle II_{b}I_{c}=\angle II_{b}A=\angle ICA=\frac{1}{2}\angle C=\frac{\gamma}{2}.
Аналогично,
\angle II_{c}A=\angle IBA=\frac{\beta}{2}.
По теореме синусов из треугольника I_{b}II_{c}
получаем, что II_{b}:II_{c}=\sin\frac{\beta}{2}:\sin\frac{\gamma}{2}
. Аналогично для остальных отношений. Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 5.19, с. 48