12856. Произвольная окружность, проходящая через вершину данного угла, отсекает на его сторонах и биссектрисе соответственно отрезки a
, b
и c
. Докажите, что отношение \frac{a+b}{c}
не зависит от положения окружности.
Решение. Пусть O
— вершина данного угла, OA=a
, OB=b
и OC=c
— указанные в условии отрезки, а данный угол равен \alpha
. Поскольку OC
— биссектриса вписанного угла AOB
, хорды AC
и BC
равны, т. е. треугольник ABC
равнобедренный.
По теореме Птолемея
AB\cdot c=BC\cdot a+b\cdot AC~\mbox{или}~AB\cdot c=AC(a+b),
откуда
\frac{a+b}{c}=\frac{AB}{AC}=2\cdot\frac{\frac{1}{2}AB}{AC}=2\cos\angle BAC=2\cos\angle BOC=2\cos\frac{\alpha}{2}.
Поскольку \alpha
не зависит от выбора окружности, отсюда следует утверждение задачи.