12859. Докажите, что квадрат любой стороны четырёхугольника меньше утроенной суммы квадратов остальных сторон, т. е.
d^{2}\lt3(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Указание. Примените скалярное произведение векторов.
Решение. Пусть ABCD
— произвольный четырёхугольник со сторонами AB=a
, BC=b
, CD=c
, AD=d
. Рассмотрим векторы
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},~\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b},~\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{c},~\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d}.
Тогда
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{d}.
После возведения этого равенства в скалярный квадрат получим
d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b}\overrightarrow{c},
а так как
2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=a^{2}+b^{2}-(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^{2},
2\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}=a^{2}+c^{2}-(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})^{2},
2\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}=b^{2}+c^{2}-(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})^{2},
то
d^{2}=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^{2}-(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})^{2}-(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})^{2}\lt3(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — пример 5, с. 97