12861. Катеты прямоугольного треугольника равны a
, b
, гипотенуза равна c
, а n
— натуральное число, большее 2. Докажите, что a^{n}+b^{n}\lt c^{n}
.
Решение. По теореме Пифагора a^{2}+b^{2}=c^{2}
. Показательная функция с основанием, меньшим 1, убывает, поэтому при n\gt2
получаем
\left(\frac{a}{c}\right)^{n}+\left(\frac{a}{c}\right)^{n}\lt\left(\frac{a}{c}\right)^{2}+\left(\frac{a}{c}\right)^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=1.
Следовательно, a^{n}+b^{n}\lt c^{n}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 10.72, с. 257
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 13.9, с. 105