12867. Площадь треугольника со сторонами a
, b
и c
равна S
. Докажите, что
S\lt\frac{1}{6}(ab+bc+ac).
Решение. Обозначим, через \alpha
, \beta
и \gamma
углы, противолежащие сторонам a
, b
и c
соответственно. Тогда
S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\leqslant\frac{1}{2}ab.
Аналогично,
S\leqslant\frac{1}{2}bc,~S\leqslant\frac{1}{2}ac.
При этом, равенство может выполняется только в одном из них. Значит,
3S\lt\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}bc+\frac{1}{2}ac.
Следовательно,
S\lt\frac{1}{6}(ab+bc+ac).
Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — пример 3, с. 98