1287. Пусть P
и Q
— середины сторон AB
и CD
четырёхугольника ABCD
, M
и N
— середины диагоналей AC
и BD
. Докажите, что если MN
и PQ
перпендикулярны, то BC=AD
.
Указание. Примените теорему о средней линии треугольника.
Решение. Поскольку MQ
и PN
— средние линии треугольников ACD
и ABD
соответственно, то MQ\parallel PN
и MQ=PN
. Поэтому четырёхугольник PMQN
— параллелограмм, а так как его диагонали перпендикулярны, то это ромб. Следовательно,
BC=2PM=2PN=AD.
Автор: Прасолов В. В.
Источник: Журнал «Квант». — 1983, № 11, с. 36, М831
Источник: Задачник «Кванта». — М831