12878. Дан единичный квадрат ABCD
. На его сторонах BC
и CD
отметили точки M
и N
соответственно. Оказалось, что \angle MAN=45^{\circ}
. Докажите, что MN+BM\cdot DN=1
.
Решение. Обозначим \angle DAN=\alpha
и \angle BAM=\beta
. Тогда
\alpha+\beta=90^{\circ}-\angle MAN=45^{\circ}.
На продолжении стороны BC
за точку B
отложим отрезок BP=DN
. Прямоугольные треугольники ABP
и ADN
равны по двум катетам, поэтому
AP=AN,~\angle BAP=DAN=\alpha,
а так как
\angle MAP=\angle MAB+\angle BAP=\beta+\alpha=45^{\circ}=\angle MAN,
то треугольники AMN
и AMP
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, MP=MN
.
Далее получаем
1=\tg45^{\circ}=\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}~\Rightarrow
\Rightarrow~1-\tg\alpha\tg\beta=\tg\alpha+\tg\beta~\Rightarrow~1-\frac{BM}{AB}\cdot\frac{DN}{AD}=\frac{BM}{AB}+\frac{DN}{AD},
а так как AB=AD=1
, то
1-BM\cdot DN=BM+DN=BM+BP=MP=MN.
Следовательно,
MN+BM\cdot DN=1.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2022, № 5, задача 4700, с. 300