12884. Докажите, что квадраты расстояний от центра окружности, вписанной в четырёхугольник, до двух его противоположный сторон относятся как произведения сторон, сходящихся в этих вершинах.
Решение. Пусть O
— центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD
. Обозначим AB=a
, BC=b
, CD=c
, DA=d
, OA=p
, OC=q
, OB=x
, OD=y
. Поскольку сумма углов четырёхугольника равна 360^{\circ}
, а лучи AO
, BO
, CO
и DO
— их биссектрисы, то сумма четырёх углов при сторонах AB
и CD
треугольников AOB
и COD
равна 180^{\circ}
. Тогда и сумма углов AOB
и COD
тоже равна 180^{\circ}
, поэтому синусы эти углов равны, а площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы, т. е.
\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle COD}}=\frac{\frac{1}{2}OA\cdot OB\sin\angle AOB}{\frac{1}{2}OC\cdot OD\sin\angle COD}=\frac{px}{qy}.
С другой стороны, высоты этих треугольников, проведённые из общей вершины, равны как радиусы вписанной окружности, поэтому площади треугольников относятся как основания AB
и CD
, т. е.
\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle COD}}=\frac{AB}{CD}=\frac{a}{c}.
Из равенства \frac{px}{qy}=\frac{a}{c}
получаем, что \frac{p}{q}=\frac{ay}{cx}
. Аналогично, рассматривая треугольники BOC
и AOD
получаем, что \frac{p}{q}=\frac{dx}{by}
. Перемножив два последних равенства, находим, что \frac{p^{2}}{q^{2}}=\frac{ad}{bc}
. Что и требовалось доказать.