12887. Высота и биссектриса прямоугольного треугольника, проведённые из вершины прямого угла, равны 3 и 4 соответственно. Найдите площадь треугольника.
Ответ. 72.
Решение. Пусть CH=3
и CL=4
— высота и биссектриса, проведённые из вершины C
прямого угла треугольника ABC
. Обозначим \angle BCH=\angle BAC=\alpha
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle CLH=\angle ACL+\angle CAL=45^{\circ}+\alpha.
Тогда
\frac{3}{4}=\frac{CH}{CL}=\sin(45^{\circ}+\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha+\cos\alpha)~\Rightarrow
\Rightarrow~\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha+\cos\alpha)\right)^{2}=\frac{9}{16}~\Rightarrow~1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{9}{8}~\Rightarrow
\Rightarrow~2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{8}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot\frac{CH}{\sin\angle CAH}\cdot\frac{CH}{\cos\angle BCH}=
=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{\sin\alpha}\cdot\frac{3}{\cos\alpha}=\frac{9}{2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{9}{\frac{1}{8}}=72.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 3, с. 138