12892. Диагонали четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
. Докажите, что:
а) центры окружностей, описанных около треугольников AOB
, BOC
, COD
и AOD
, являются вершинами параллелограмма;
б) если угол между диагоналями четырёхугольника равен 45^{\circ}
, то четырёхугольник и параллелограмм равновелики.
Решение. а) Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры описанных окружностей треугольников AOB
и BOC
соответственно. Тогда O_{1}O_{2}\perp BO
, поэтому OO_{1}\perp BD
. Аналогично, если O_{3}
и O_{4}
— центры описанных окружностей треугольников COD
и AOD
соответственно, то O_{3}O_{4}\perp BD
. Значит, O_{1}O_{2}\parallel O_{3}O_{4}
. Аналогично, O_{2}O_{3}\parallel O_{1}O_{4}
. Следовательно, O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
— параллелограмм.
б) Пусть A_{1}
— точка пересечения отрезков OA
и O_{1}O_{4}
, т. е. середина общей хорды описанных окружностей треугольников AOB
и AOD
. Аналогично определим точки B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
. Тогда A_{1}C_{1}
и B_{1}D_{1}
— высоты параллелограмма O_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Угол между соседними сторонами параллелограмма равен углу между диагоналями четырёхугольника ABCD
, т. е. 45^{\circ}
. Тогда
O_{1}O_{2}=\sqrt{2}A_{1}C_{1}=\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}OA+\frac{1}{2}OC\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(OA+OC)=\frac{\sqrt{2}}{2}AC.
Аналогично, O_{2}O_{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}BD
. Следовательно,
S_{O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}}=O_{1}O_{2}\cdot O_{2}O_{3}\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}AC\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}BD\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}AC\cdot BD,
а так как
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{4}AC\cdot BD,
то четырёхугольник ABCD
и параллелограмм O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
равновелики.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 27, с. 140