12893. В окружность радиуса R
вписан правильный треугольник ABC
. Через вершину C
проведена произвольная прямая, пересекающая прямую AB
в точке M
, а окружность — вторично в точке N
. Вычислите произведение CM/cdotCN
.
Ответ. 3R^{2}
.
Решение. Вписанные углы ANC
и BAC
опираются на равные дуги, поэтому они равны. Тогда треугольники ACM
и NCA
подобны по двум углам (угол при вершине C
— общий). Значит, \frac{CM}{AC}=\frac{AC}{CN}
. Следовательно,
CM\cdot CN=AC^{2}=(R\sqrt{3})^{2}=3R^{2}.