12893. В окружность радиуса R
вписан правильный треугольник ABC
. Через вершину C
проведена произвольная прямая, пересекающая прямую AB
в точке M
, а окружность — вторично в точке N
. Вычислите произведение CM\cdot CN
.
Ответ. 3R^{2}
.
Решение. Вписанные углы ANC
и BAC
опираются на равные дуги, поэтому они равны. Тогда треугольники ACM
и NCA
подобны по двум углам (угол при вершине C
— общий). Значит, \frac{CM}{AC}=\frac{AC}{CN}
. Следовательно,
CM\cdot CN=AC^{2}=(R\sqrt{3})^{2}=3R^{2}.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 44, с. 142