12897. Докажите, что в любом треугольнике сумма синусов двух углов больше синуса его третьего угла.
Решение. Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника, противолежащие сторонам a
, b
и c
соответственно, а R
— радиус описанной окружности треугольника. Тогда
\sin\alpha=\frac{a}{2R},~\sin\beta=\frac{b}{2R},~\sin\gamma=\frac{c}{2R}.
Значит,
\sin\alpha+\sin\beta\gt\sin\gamma~\Leftrightarrow~\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}\gt\frac{c}{2R}~\Leftrightarrow~a+b\gt c
Последнее неравенство верно как неравенство треугольника. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — пример 4, с. 95