12898. Докажите, что если углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
, то
\cos2\alpha+\cos2\beta-\cos2\gamma\leqslant\frac{3}{2}.
Когда достигается равенство?
Решение. Первый способ. Рассмотрим треугольник ABC
с углами \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
и \angle C=\gamma
. Пусть O
— центр его описанной окружности, а радиус окружности равен 1. Если треугольник остроугольный, то
\angle BOC=2\alpha,~\angle AOC=2\beta,~\angle AOB=2\gamma.
Тогда
0\leqslant(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})^{2}=
=\overrightarrow{OA}^{2}+\overrightarrow{OB}^{2}+\overrightarrow{OC}^{2}+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=
=1+1+1+2\cdot1\cdot1\cdot\cos2\gamma-2\cdot1\cdot1\cdot\cos2\beta-2\cdot1\cdot1\cdot\cos2\alpha=
=3+2(\cos2\gamma-\cos2\alpha-\cos2\beta).
Следовательно,
\cos2\alpha+\cos2\beta-2\cos\gamma\leqslant\frac{3}{2}.
Если треугольник ABC
тупоугольный или прямоугольный, например, \angle ABC\geqslant90^{\circ}
, то центральный угол AOB
, не содержащий точки A
, равен 360^{\circ}-2\alpha
, а так как \cos(360^{\circ}-2\alpha)=\cos2\alpha
, то неравенство верно и в этом случае.
Равенство достигается в случае, когда
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0},
т. е. когда треугольник ABC
— равнобедренный с углом 120^{\circ}
при вершине C
.
Второй способ. Заметим, что
\cos2\gamma=\cos2(180^{\circ}-\alpha-\beta)=\cos(360^{\circ}-2\alpha-2\beta)=\cos(2\alpha+2\beta)=
=\cos2\alpha\cos2\beta-\sin2\alpha\sin2\beta,
поэтому
\cos2\alpha+\cos2\beta-\cos2\gamma=\cos2\alpha+\cos2\beta-\cos2\alpha\cos2\beta+\sin2\alpha\sin2\beta,
а так как для любого \varphi
верно неравенство
a\cos\varphi+b\sin\varphi\leqslant\sqrt{a^{2}+b^{2}},
то
\cos2\alpha+\cos2\beta-\cos2\alpha\cos2\beta+\sin2\alpha\sin2\beta=
=(1-\cos2\beta)\cos2\alpha+\sin2\beta\sin2\alpha+\cos2\beta\leqslant
\leqslant\sqrt{(1-\cos2\beta)^{2}+\sin^{2}2\beta}+\cos2\beta=
=\sqrt{1-2\cos2\beta+\cos^{2}2\beta+\sin^{2}2\beta}+\cos2\beta=
=\sqrt{2(1-\cos2\beta)}+\cos2\beta=2|\sin\beta|+1-2\sin^{2}\beta.
Осталось заметить, что наибольшее значение квадратного трёхчлена 2t+1-2t^{2}
достигается в точке t=\frac{1}{2}
и равно \frac{3}{2}
. Это максимальное значение соответствует углам
\alpha=\beta=30^{\circ},~\gamma=120^{\circ}.