12905. Дан прямоугольник со сторонами a
и b
. Две окружности радиусов R_{1}
и R_{2}
, построены так, что каждая из них проходит через вершины одной из двух смежных сторон и касается противоположной стороны. Докажите, что
R_{1}+R_{2}\geqslant\frac{5}{8}(a+b).
Решение. Пусть ABCD
— данный прямоугольник, AB=a
и BC=b
.
Без ограничения общности будем считать, что a\geqslant b
. Пусть окружность радиуса R_{1}
проходит через вершины A
и B
и касается стороны CD
в точке M
. Тогда её центр O_{1}
лежит на серединном перпендикуляре к хорде AB
, который также проходит через точку M
. Пусть N
— середина AB
. Тогда
O_{1}M=R_{1},~O_{1}N=MN-O_{1}M=b-R_{1},~O_{1}B=R_{1}.
По теореме Пифагора
R_{1}^{2}=O_{1}B^{2}=O_{1}N^{2}+BN^{2}=(b-R_{1})^{2}+\frac{a^{2}}{4},
откуда R_{1}=\frac{a^{2}+4b^{2}}{8b}
. Аналогично, R_{2}=\frac{b^{2}+4a^{2}}{8a}
. Следовательно,
R_{1}+R_{2}=\frac{a^{2}+4b^{2}}{8b}+\frac{b^{2}+4a^{2}}{8a}=\frac{a^{3}+4ab^{2}+b^{3}+4a^{2}b}{8ab}=
=\frac{a^{3}+b^{3}+4ab(a+b)}{8ab}=\frac{(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}+4ab)}{8ab}=
=\frac{1}{8}(a+b)\cdot\frac{a^{2}+3ab+b^{2}}{ab}=\frac{1}{8}(a+b)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+3\right)\geqslant
\geqslant\frac{1}{8}(a+b)(2+3)=\frac{5}{8}(a+b).
Что и требовалось доказать.