12908. В равнобедренном треугольнике ABC
угол при основании AC
равен \alpha
, а боковая сторона равна a
. Через точку M
, лежащую на боковой стороне, проведены две прямые, параллельные сторонам треугольника и отсекающие от треугольника ABC
параллелограмм наибольшей площади. Найдите площадь этого параллелограмма.
Ответ. \frac{1}{4}a^{2}\sin2\alpha
.
Решение. Пусть прямые, проведённые через точку M
боковой стороны BC
параллельно сторонам треугольника, пересекают стороны AC
и AB
в точках K
и L
соответственно. Обозначим стороны ML
и MK
параллелограмма AKML
через x
и y
соответственно. Из равнобедренного треугольника BLM
находим, что
x=ML=2BL\cos\angle BLM=2(a-y)\cos\alpha.
Тогда
S_{AKML}=AL\cdot AK\sin\alpha=yx\sin\alpha=2y(a-y)\cos\alpha\sin\alpha=
=y(a-y)\sin2\alpha\leqslant\left(\frac{y+(a-y)}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}a^{2}\sin2\alpha,
причём равенство достигается при y=a-y
, т. е. при y=\frac{a}{2}
. Следовательно, искомая наибольшая площадь параллелограмма равна \frac{1}{4}a^{2}\sin2\alpha
.