1291. Признак подобия треугольников по трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Указание. Пусть ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
— треугольники, у которых \frac{AC}{A_{1}C_{1}}=\frac{B_{1}C_{1}}{BC}
. При гомотетии с коэффициентом k=\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{AC}{A_{1}C_{1}}=\frac{B_{1}C_{1}}{AB}
треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
переходит в треугольник, равный треугольнику ABC
.
Решение. Пусть ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
— треугольники, у которых \frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{AC}{A_{1}C_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}
.
Обозначим \frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{AC}{A_{1}C_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=k
. Докажем, что при гомотетии с центром в произвольной точке O
и коэффициентом k
треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
переходит в треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
, равный треугольнику ABC
.
Действительно,
A_{2}B_{2}=kA_{1}B_{1}=\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\cdot A_{1}B_{1}=AB,
A_{2}C_{2}=kA_{1}C_{1}=\frac{AC}{A_{1}C_{1}}\cdot A_{1}C_{1}=AC,
B_{2}C_{2}=kB_{1}C_{1}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}\cdot B_{1}C_{1}=BC.
Следовательно, треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
равен треугольнику ABC
по трём сторонам.
Треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
гомотетичны, значит, они подобны, а треугольники A_{2}B_{2}C_{2}
и ABC
равны и поэтому тоже подобны. Следовательно, треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
и ABC
подобны. Утверждение доказано.
