12910. Докажите, что в пятиугольнике, вписанном в окружность, сумма любых двух углов, не прилежащих к одной стороне, больше 180^{\circ}
.
Решение. Пусть ABCDE
— вписанный пятиугольник. Докажем, что сумма углов при вершинах A
и C
больше 180^{\circ}
.
Проведём диагональ CE
. Тогда сумма углов BAE
и BCE
вписанного четырёхугольника ABCE
равна 180^{\circ}
, а так как луч CE
проходит между сторонами угла BCD
, то \angle BCD\gt\angle BCE
. Следовательно, сумма углов BAE
и BCD
больше 180^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для любой другой пары углов, о которых говорится в условии.