12912. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
взята произвольная точка P
. Докажите, что окружности, описанные около треугольников APC
и BPC
, ортогональны.
Решение. Обозначим \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
. Пусть CA_{1}
и CB_{1}
— диаметры описанных окружностей треугольников APC
и BPC
соответственно. Поскольку \angle CPA_{1}=\angle CPB_{1}=90^{\circ}
, точка P
лежит на отрезке A_{1}B_{1}
. При этом
\angle CA_{1}B_{1}=\angle CA_{1}P=\angle CAP=\alpha,~\angle CB_{1}A_{1}=\angle CB_{1}P=\angle CBP=\beta.
Значит,
\angle A_{1}CB_{1}=180^{\circ}-\alpha-\beta=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
Таким образом, радиусы окружностей, проведённые в точку пересечения окружностей, перпендикулярны, поэтому перпендикулярны и касательные к окружностям, проведённые в этой точке. Следовательно, окружности ортогональны.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 95, с. 147