12915. Окружность S_{1}
касается сторон AC
и AB
треугольника ABC
, окружность S_{2}
касается сторон BC
и AB
, кроме того, S_{1}
и S_{2}
касаются друг друга. Докажите, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса вписанной окружности S
треугольника ABC
.
Решение. Пусть r_{1}
, r_{2}
и r
— радиусы окружностей S_{1}
, S_{2}
и S
соответственно. Проведём касательную к окружности S_{1}
, параллельную BC
. Пусть она пересекает стороны AB
и AC
в точках B_{1}
и C_{1}
соответственно. Проведём касательную к окружности S_{2}
, параллельную AC
. Пусть она пересекает стороны AB
и BC
в точках A_{2}
и C_{2}
соответственно. Треугольник AB_{1}C_{1}
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{r_{1}}{r}
, а треугольник A_{2}BC_{2}
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{r_{2}}{r}
.
Треугольники AB_{1}C_{1}
и A_{2}BC_{2}
пересекаются, так как иначе у окружностей S_{1}
и S_{2}
не было бы ни одной общей точки. Значит, AB_{1}+BA_{2}\gt AB
, или
\frac{r_{1}}{r}AB+\frac{r_{2}}{r}AB\gt AB,
откуда
r_{1}+r_{2}\gt r.
Что и требовалось доказать.