12916. Диагонали четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
. Расстояния от точек A
, B
и P
до прямой CD
равны a
, b
и p
соответственно. Докажите, что площадь четырёхугольника ABCD
равна \frac{ab\cdot CD}{2p}
.
Решение. Обозначим
S_{\triangle APB}=S_{1},~S_{\triangle BPC}=S_{2},~S_{\triangle CPD}=S_{3},~S_{\triangle DPA}=S_{4}.
Тогда
a=\frac{2S_{\triangle ACD}}{CD}=\frac{2(S_{3}+S_{4})}{CD},~p=\frac{2S_{3}}{CD},
поэтому
\frac{a}{p}=\frac{\frac{2(S_{3}+S_{4})}{CD}}{\frac{2S_{3}}{CD}}=\frac{S_{3}+S_{4}}{S_{3}}.
Кроме того,
\frac{CD\cdot b}{2}=S_{2}+S_{3}.
Перемножив два последних равенства и учитывая, что S_{1}\cdot S_{3}=S_{2}\cdot S_{4}
(см. задачу 4191), получим
\frac{ab\cdot CD}{2p}=\frac{S_{3}+S_{4}}{S_{3}}\cdot(S_{2}+S_{3})=\frac{S_{2}S_{3}+S_{3}^{2}+S_{2}S_{4}+S_{3}S_{4}}{S_{3}}=
=\frac{S_{2}S_{3}+S_{3}^{2}+S_{1}S_{3}+S_{3}S_{4}}{S_{3}}=S_{2}+S_{3}+S_{1}+S_{4}=S_{ABCD}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4.43, с. 86